مدل تئوری ساختارهای اندازه

یکی از رویکردهای مورد مطالعه در نظریه مدل بررسی ساختار های آنالیزی با کمک ابزارهای نظریه مدلی است. در این راستا انواع گوناگونی از منطق ها و نظریه مدل های مرتبط با آنها پدید آمده اند که از آن جمله می توان به نظریه مدل فضاهای باناخ، منطق پیوسته و نظریه مدل برای ساختارهای متریک و نیز منطق انتگرال اشاره نمود. منطق پیوسته برای اولین بار توسط چانگ و کیسلر معرفی گردید. بعدها مطالعات نظریه مدلی در این قالب جدید مورد توجه قرار گرفت و توسط افرادی از قبیل هنسون و بن یاکف اقدام به بررسی بیشتر و نمایشهایی بهتر از این قالب به عمل آمد. از سویی دیگر، یافتن و بررسی مثالها و تئوری هایی در ریاضیات که در این بستر مورد مطالعه قرار گیرند به یک موضوع اصلی تحقیقاتی تبدیل گشت. در این میان می توان به مطالعات گسترده ای که بر روی نظریه مدل فضاهای ناکانو و جبرهای اندازه ای و فضاهای هیلبرت انجام شد اشاره نمود. از آنجا که تئوری این ساختارها در قالب این منطق قابل اصل بندی می باشند، بررسی نظریه مدل چنین ساختارهایی از طریق این قالب منطقی مورد توجه قرار گرفت. در این میان بررسی خواصی از اینگونه تئوری ها نظیر "نظریه پایداری" و "جازمیت" حائز اهمیت بوده است. از طرف دیگر مطالعه نظریه مدل مجرد و گسترش مفاهیم اصلی نظریه مدل مرتبه اول به این محیط از یک سو و نیز تلاش جهت ایجاد مفاهیمی کاملا مستقل و جدید از سوی دیگر، از جمله مسیرهای اصلی تحقیقاتی گردیدند که از جمله نتایج مطرح در این نوع مطالعات می توان به رویکردهای مطالعاتی مختلفی از قبیل اختلال (perturbation), رندوم سازی (randomization)و پایداری (stability) اشاره نمود. منطق انتگرال در ابتدا توسط کیسلر و هوور معرفی گردید. در واقع کیسلر و هوور به معرفی منطقی جدید برای مطالعه فضاهای اندازه و با تاکید بر فضاهای احتمال پرداختند. این منطق از عملگر احتمال و یا انتگرال به عنوان سور استفاده می کند و با نحوه خاص ساخت جملات و فرمولها سعی در اصل بندی برخی ساختارهای اندازه ای و احتمالاتی دارد. قابل ذکر است که در گونه هایی از این منطق، ضمن ارائه دستگاههای استنتاجی قضیه تمامیت نیز به اثبات می رسد. در ادامه، هوور و برخی دیگر از افراد به بسط این منطق پرداخته و ضمنا تغییراتی را هم در فرمالیسم منطق ایجاد کردند. سپس در تحقیقاتی جدیدتر محققان با کمی تغییر در چارچوب اولیه به ادامه کارهای کیسلر و هوور پرداخته، برخی دیگر از قضایای نظریه مدلی را اثبات نمودند. در اینگونه چارچوب نظریه مدلی، ساختارهایی به نام "اندازه های مدرج" مورد مطالعه قرار می گیرند. بخش نحوی منطقی که اینگونه ساختارها را مورد مطالعه قرار می دهد کمی متفاوت با منطق مرتبه اول می باشد. ترم ها و فرمول های اتمی همانند قبل هستند ولی در ساخت فرمولها از عطف های پیوسته استفاده می شود و نیز از اپراتور انتگرال به عنوان سور استفاده می گردد. بنابراین عباراتی انتگرالی به عنوان فرمول در نظر گرفته می شود. همچنین عباراتی به نام "بیان" (statement) نقش مهمی را ایفا می کنند و مفهوم ارضا در یک ساختار اندازه مدرج به معنای ارضا شدن این عبارات می باشد. در این قالب قضیه های مختلفی از جمله قضیه فشردگی برقرار است. مفاهیم و اشیاء آنالیزی از قبیل اندازه، توپولوژی و دینامیک توپولوژیکی، علاوه بر موضوعات مطرح شده در بالا، در تحلیل ساختارهای منطق مرتبه اول کلاسیک و در حیطه نظریه پایداری (stability theory) و ورژن های جدید تر آن نیز نقش مهمی را ایفا می کنند. نظریه پایداری شاخه ای از نظریه مدل کلاسیک است که به بررسی رده ای از تئوری ها که اصطلاحا پایدار (stable) نامیده می شوند می پردازد. بسط و تعمیق این نظریه به حیطه های گسترده تری از تئوری ها از قبیل تئوری های وابسته (nip theoreis) و نیز تئوری های ساده (simple theories) همواره از موضوعات اصلی تحقیقاتی در نظریه مدل بوده و هست و در این بین استفاده از مفاهیم آنالیزی مطرح شده نقش مهمی را ایفا نموده و منجر به نتایج مهمی در این تحقیقات شده است. ساختار رساله به این گونه می باشد. در فصل نخست به بیان پیش نیازهای لازم در فصول آینده خواهیم پرداخت. این پیش نیازها بیشتر در حیطه های نظریه اندازه و احتمال و توپولوژی می باشند. در فصل دوم رساله ما به معرفی منطق انتگرال خواهیم پرداخت و قضایای نظریه مدلی موجود و نیز برخی پیش نیازهای دیگر از نظریه مدل را بیان خواهیم نمود. همچنین مروری بر مثالهای مرتبط خواهیم داشت. در فصل سوم به مطالعه نظریه مدلی با رویکردی مجرد در حیطه های مرتبط با منطق هایی از قبیل منطق انتگرال و منطق پیوسته خواهیم پرداخت. در ابتدا یک بستر منطقی کلی خواهیم ساخت بطوریکه منطق های زیادی از قبیل منطق انتگرال و منطق پیوسته را به طور مثال خاص در خود داشته باشد و به نوعی تعمیمی مشترک از همه آنها باشد. این رویکرد کمی به آنالیز تابعی نزدیک خواهد بود. سپس به بررسی خواص ابتدایی نظریه مدلی این بستر عام خواهیم پرداخت. همچنین به مثالهای متنوعی اشاره خواهیم نمود. موضوعات توپولوژیکی و منطق های مرتبط با توپولوژی ها نیز در این فصل دارای اهمیت هستند. در ادامه در فصل چهارم رساله به طور مفصل به بررسی منطق انتگرال و کاربردهای آن در آنالیز خواهیم پرداخت. به طور دقیقتر، با استفاده از قضایای فشردگی و فراضرب که در منطق انتگرال برقرار هستند و نیز استفاده از قدرت بیان موجود در این منطق، به ارائه اثباتهایی نظریه مدلی برای برخی از قضایای کلاسیک آنالیزی خواهیم پرداخت. قضایای زیر در این بین هستند. قضیه نمایش استون برای جبرهای احتمالی، قضیه دانیال استون برای انتگرال دانیال، قضیه نمایش ریس و قضیه رادون نیکودیم. در فصل پنجم از رساله به گسترشی از منطق انتگرال خواهیم پرداخت بطوریکه تعبیرهای نمادهای رابطه ای بتوانند بی کران باشند و بطور دقیقتر در فضاهای lp ،p>1، بیفتند. این تعمیم بسیار طبیعی است چرا که در بسیاری بخشهای نظریه احتمال، نظریه ارگودیک و آنالیز تابعی، توابع مورد بحث بیکران می باشند. سپس به بررسی نظریه مدل این منطق گسترش یافته می پردازیم و قضایای اصلی فراضرب و فشردگی را به اثبات می رسانیم.